Što su fraktali: ljepota matematike i beskonačnost

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-16 16:06

Fraktali su poznati već stoljeće, dobro su proučavani i imaju brojne primjene u životu. Međutim, ovaj se fenomen temelji na vrlo jednostavnoj ideji: mnoštvo oblika, beskonačne ljepote i raznolikosti, može se dobiti iz relativno jednostavnih struktura koristeći samo dvije operacije - kopiranje i skaliranje.

Što je zajedničko stablu, morskoj obali, oblaku ili krvnim žilama u našoj ruci? Na prvi pogled može se činiti da svi ti objekti nemaju ništa zajedničko. Međutim, zapravo postoji jedno svojstvo strukture svojstveno svim navedenim objektima: oni su sami sebi slični. Od grane, kao i od debla stabla, idu manje grane, od njih - još manje itd., odnosno grana je kao cijelo drvo.

Krvožilni sustav uređen je na sličan način: arteriole odlaze iz arterija, a iz njih - najmanji kapilari kroz koje kisik ulazi u organe i tkiva. Pogledajmo satelitske snimke morske obale: vidjet ćemo uvale i poluotoke; pogledajmo ga, ali iz ptičje perspektive: vidjet ćemo uvale i rtove; Sada zamislimo da stojimo na plaži i gledamo u svoja stopala: uvijek ima kamenčića koji strše u vodu dalje od ostalih.

Odnosno, obala ostaje slična samoj sebi kada se zumira. Američki (iako odgojen u Francuskoj) matematičar Benoit Mandelbrot nazvao je ovo svojstvo objekata fraktalnošću, a same takve objekte - fraktalima (od latinskog fractus - slomljen).

Što je fraktal?

Ovaj koncept nema strogu definiciju. Dakle, riječ "fraktal" nije matematički pojam. Tipično, fraktal je geometrijski lik koji zadovoljava jedno ili više od sljedećih svojstava: • Ima složenu strukturu pri bilo kojem povećanju (za razliku od, na primjer, ravne linije, čiji je bilo koji dio najjednostavniji geometrijski lik - a linijski segment). • Je (približno) sam sebi sličan. • Ima frakcijsku Hausdorffovu (fraktalnu) dimenziju, koja je veća od topološke. • Može se izgraditi s rekurzivnim procedurama.

Geometrija i algebra

Proučavanje fraktala na prijelazu iz 19. u 20. stoljeće bilo je prije epizodno nego sustavno, jer su raniji matematičari uglavnom proučavali "dobre" objekte koji su bili podložni istraživanju korištenjem općih metoda i teorija. Godine 1872. njemački matematičar Karl Weierstrass konstruira primjer neprekidne funkcije koja se nigdje ne može razlikovati. Međutim, njegova konstrukcija bila je posve apstraktna i teško uočljiva.

Stoga je 1904. Šveđanin Helge von Koch izumio neprekidnu krivulju, koja nigdje nema tangente, a vrlo ju je jednostavno nacrtati. Pokazalo se da ima svojstva fraktala. Jedna od varijanti ove krivulje zove se "Koch pahulja".

Ideje o samosličnosti figura pokupio je Francuz Paul Pierre Levy, budući mentor Benoita Mandelbrota. Godine 1938. objavio je svoj članak "Ravninske i prostorne krivulje i plohe, koje se sastoje od dijelova sličnih cjelini", koji opisuje još jedan fraktal - Lévyjevu C-krivulju. Svi ovi gore navedeni fraktali mogu se uvjetno pripisati jednoj klasi konstruktivnih (geometrijskih) fraktala.

Druga klasa su dinamički (algebarski) fraktali, koji uključuju Mandelbrotov skup. Prve studije u ovom smjeru započele su početkom 20. stoljeća i povezuju se s imenima francuskih matematičara Gastona Julia i Pierrea Fatoua. Godine 1918. objavljeni su Julijini memoari na gotovo dvjesto stranica, posvećeni iteracijama složenih racionalnih funkcija, u kojima su opisani Julijini skupovi – cijela obitelj fraktala usko povezana s Mandelbrotovim skupom. Ovo djelo nagrađeno je nagradom Francuske akademije, ali nije sadržavalo niti jednu ilustraciju, pa je bilo nemoguće procijeniti ljepotu otkrivenih predmeta.

Unatoč činjenici da je ovo djelo proslavilo Juliju među matematičarima tog vremena, brzo je zaboravljeno. Tek pola stoljeća kasnije računala su ponovno skrenula pozornost: upravo su oni učinili vidljivim bogatstvo i ljepotu svijeta fraktala.

Fraktalne dimenzije

Kao što znate, dimenzija (broj mjerenja) geometrijskog lika je broj koordinata potrebnih za određivanje položaja točke koja leži na ovoj slici.

Primjerice, položaj točke na krivulji određen je jednom koordinatom, na površini (ne nužno ravnini) s dvije koordinate, u trodimenzionalnom prostoru s tri koordinate.

S općenitijeg matematičkog stajališta, dimenziju možete definirati na ovaj način: povećanje linearnih dimenzija, recimo, dvaput, za jednodimenzionalne (s topološke točke gledišta) objekte (segment) dovodi do povećanja veličine (duljina) dva puta, za dvodimenzionalni (kvadrat) isto povećanje linearnih dimenzija dovodi do povećanja veličine (površine) za 4 puta, za trodimenzionalne (kocka) - za 8 puta. Odnosno, "stvarna" (tzv. Hausdorffova) dimenzija može se izračunati kao omjer logaritma povećanja "veličine" objekta i logaritma povećanja njegove linearne veličine. To jest, za segment D = log (2) / log (2) = 1, za ravninu D = log (4) / log (2) = 2, za volumen D = log (8) / log (2) = 3.

Izračunajmo sada dimenziju Kochove krivulje, za čiju konstrukciju je jedinični segment podijeljen na tri jednaka dijela, a srednji interval je zamijenjen jednakostraničnim trokutom bez ovog segmenta. S povećanjem linearnih dimenzija minimalnog segmenta tri puta, duljina Kochove krivulje raste u log (4) / log (3) ~ 1, 26. To jest, dimenzija Kochove krivulje je frakcijska!

Znanost i umjetnost

Godine 1982. objavljena je Mandelbrotova knjiga "Fraktalna geometrija prirode" u kojoj je autor prikupio i sistematizirao gotovo sve tada dostupne podatke o fraktalima i prikazao ih na jednostavan i pristupačan način. Mandelbrot je u svom izlaganju glavni naglasak stavio ne na glomazne formule i matematičke konstrukcije, već na geometrijsku intuiciju čitatelja. Zahvaljujući računalno generiranim ilustracijama i povijesnim pričama, kojima je autor vješto razvodnio znanstvenu komponentu monografije, knjiga je postala bestseler, a fraktali poznati široj javnosti.

Njihov uspjeh među nematematičarima uvelike je posljedica činjenice da se uz pomoć vrlo jednostavnih konstrukcija i formula koje može razumjeti srednjoškolac dobivaju slike nevjerojatne složenosti i ljepote. Kada su osobna računala postala dovoljno moćna, pojavio se čak i cijeli trend u umjetnosti - fraktalno slikanje, a to je mogao učiniti gotovo svaki vlasnik računala. Sada na Internetu možete lako pronaći mnoge stranice posvećene ovoj temi.

Rat i mir

Kao što je gore navedeno, jedan od prirodnih objekata s fraktalnim svojstvima je obala. Uz njega je vezana jedna zanimljiva priča, odnosno pokušaj mjerenja njezine duljine, koja je bila temelj Mandelbrotova znanstvenog članka, a opisana je i u njegovoj knjizi "Fraktalna geometrija prirode".

Ovo je eksperiment koji je postavio Lewis Richardson, vrlo talentirani i ekscentrični matematičar, fizičar i meteorolog. Jedan od smjerova njegova istraživanja bio je pokušaj pronalaženja matematičkog opisa uzroka i vjerojatnosti oružanog sukoba između dviju zemalja. Među parametrima koje je uzeo u obzir bila je i duljina zajedničke granice dviju zaraćenih zemalja. Kada je prikupio podatke za numeričke eksperimente, otkrio je da se u različitim izvorima podaci o zajedničkoj granici između Španjolske i Portugala vrlo razlikuju.

To ga je potaknulo da otkrije sljedeće: duljina granica jedne zemlje ovisi o vladaru s kojim ih mjerimo. Što je razmjer manji, granica je duža. To je zbog činjenice da s većim povećanjem postaje moguće uzeti u obzir sve više obalnih zavoja, koji su prije bili zanemareni zbog hrapavosti mjerenja. A ako se sa svakim povećanjem razmjera otvaraju prethodno neobračunati zavoji linija, onda se ispostavlja da je duljina granica beskonačna! Istina, u stvarnosti se to ne događa - točnost naših mjerenja ima konačnu granicu. Ovaj paradoks se naziva Richardsonov efekt.

Konstruktivni (geometrijski) fraktali

Algoritam za konstruiranje konstruktivnog fraktala u općem slučaju je sljedeći. Prije svega, trebaju nam dva prikladna geometrijska oblika, nazovimo ih baza i fragment. U prvoj fazi prikazana je osnova budućeg fraktala. Zatim se neki njegovi dijelovi zamjenjuju fragmentom uzetim u prikladnom mjerilu - ovo je prva iteracija konstrukcije. Zatim, rezultirajući lik ponovno mijenja neke dijelove u figure slične fragmentu i tako dalje. Ako ovaj proces nastavimo u nedogled, tada u granici dobivamo fraktal.

Razmotrimo ovaj proces koristeći Kochovu krivulju kao primjer. Kao osnovu za Kochovu krivulju, možete uzeti bilo koju krivulju (za "Koch pahulju" to je trokut). Ali ograničit ćemo se na najjednostavniji slučaj - segment. Fragment je isprekidana linija prikazana na vrhu slike. Nakon prve iteracije algoritma, u ovom slučaju, početni segment će se podudarati s fragmentom, zatim će svaki njegov sastavni segment biti zamijenjen isprekidanom linijom, slično fragmentu, itd. Slika prikazuje prva četiri koraka ovaj proces.

Jezikom matematike: dinamički (algebarski) fraktali

Fraktali ovog tipa nastaju u proučavanju nelinearnih dinamičkih sustava (otuda i naziv). Ponašanje takvog sustava može se opisati složenom nelinearnom funkcijom (polinomom) f (z). Uzmite neku početnu točku z0 na kompleksnoj ravnini (vidi bočnu traku). Sada razmotrite takav beskonačan niz brojeva na kompleksnoj ravnini, od kojih se svaki od sljedećih dobiva iz prethodnog: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

Ovisno o početnoj točki z0, takav se niz može različito ponašati: težiti beskonačnosti kao n -> ∞; konvergirati do neke krajnje točke; ciklički uzimati određeni broj fiksnih vrijednosti; moguće su i složenije opcije.

Kompleksni brojevi

Kompleksni broj je broj koji se sastoji od dva dijela - stvarnog i imaginarnog, odnosno formalnog zbroja x + iy (ovdje su x i y realni brojevi). ja sam tzv. imaginarna jedinica, odnosno broj koji zadovoljava jednadžbu i ^ 2 = -1. Osnovne matematičke operacije definirane su nad kompleksnim brojevima - zbrajanje, množenje, dijeljenje, oduzimanje (samo operacija usporedbe nije definirana). Za prikaz kompleksnih brojeva često se koristi geometrijski prikaz - na ravnini (naziva se kompleksna), realni dio je položen na apscisu, a imaginarni dio na ordinatu, dok će kompleksni broj odgovarati točki s kartezijskom koordinate x i y.

Dakle, svaka točka z kompleksne ravnine ima svoj karakter ponašanja tijekom iteracija funkcije f (z), a cijela je ravnina podijeljena na dijelove. U ovom slučaju točke koje leže na granicama ovih dijelova imaju sljedeće svojstvo: za proizvoljno mali pomak, priroda njihovog ponašanja naglo se mijenja (takve se točke nazivaju točke bifurkacije). Dakle, ispada da skupovi točaka s jednim specifičnim tipom ponašanja, kao i skupovi točaka bifurkacije, često imaju fraktalna svojstva. Ovo su Julia skupovi za funkciju f (z).

Obitelj zmajeva

Variranjem baze i fragmenta možete dobiti nevjerojatnu raznolikost konstruktivnih fraktala.

Štoviše, slične operacije mogu se izvesti u trodimenzionalnom prostoru. Primjeri volumetrijskih fraktala su Mengerova spužva, Sierpinski piramida i drugi.

Obitelj zmajeva se također naziva konstruktivnim fraktalima. Ponekad se nazivaju po imenu otkrića "zmajevi s autoceste-Harter" (po svom obliku podsjećaju na kineske zmajeve). Postoji nekoliko načina za crtanje ove krivulje. Najjednostavniji i najintuitivniji od njih je sljedeći: trebate uzeti dovoljno dugu traku papira (što je papir tanji, to bolje) i presavijati ga na pola. Zatim ga ponovno dvaput savijte u istom smjeru kao i prvi put.

Nakon nekoliko ponavljanja (obično nakon pet ili šest savijanja, traka postaje predebela da bi se dalje uredno savijala), trebate je odvojiti natrag i pokušati formirati kutove od 90˚ na naborima. Tada će krivulja zmaja ispasti u profilu. Naravno, ovo će biti samo aproksimacija, kao i svi naši pokušaji da prikažemo fraktalne objekte. Računalo vam omogućuje da prikažete mnogo više koraka u ovom procesu, a rezultat je vrlo lijepa figura.

Mandelbrotov skup je konstruiran na malo drugačiji način. Razmotrimo funkciju fc (z) = z ^ 2 + c, gdje je c kompleksan broj. Konstruirajmo niz ove funkcije sa z0 = 0, ovisno o parametru c, može divergirati do beskonačnosti ili ostati ograničen. Štoviše, sve vrijednosti c za koje je ovaj niz ograničen čine Mandelbrotov skup. Detaljno su ga proučavali sam Mandelbrot i drugi matematičari, koji su otkrili mnoga zanimljiva svojstva ovog skupa.

Vidi se da su definicije skupova Julia i Mandelbrot međusobno slične. Zapravo, ova dva skupa su usko povezana. Naime, Mandelbrotov skup su sve vrijednosti kompleksnog parametra c za koje je povezan Julijev skup fc (z) (skup se naziva povezanim ako se ne može podijeliti na dva disjunktna dijela, uz neke dodatne uvjete).

Fraktali i život

Danas se teorija fraktala široko koristi u raznim područjima ljudske djelatnosti. Osim čisto znanstvenog predmeta istraživanja i već spomenutog fraktalnog slikanja, fraktali se u teoriji informacija koriste za komprimiranje grafičkih podataka (ovdje se uglavnom koristi svojstvo samosličnosti fraktala - uostalom, kako bi se zapamtio mali fragment crtež i transformacije pomoću kojih možete dobiti ostale dijelove, mnogo manje je potrebna memorija nego za pohranjivanje cijele datoteke).

Dodavanjem slučajnih perturbacija formulama koje definiraju fraktal, mogu se dobiti stohastički fraktali koji vrlo uvjerljivo prenose neke stvarne objekte - elemente reljefa, površinu vodenih tijela, neke biljke, što se uspješno koristi u fizici, geografiji i računalnoj grafici za postizanje većeg sličnost simuliranih objekata sa stvarnim. U elektronici se proizvode antene koje imaju fraktalni oblik. Zauzimajući malo prostora, pružaju prilično kvalitetan prijem signala.

Ekonomisti koriste fraktale za opisivanje krivulja tečaja (osobina koju je otkrio Mandelbrot). Ovim je završen ovaj mali izlet u nevjerojatno lijep i raznolik svijet fraktala.